벡터에 대해서

목차

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1. 벡터란

• 벡터는 숫자를 원소로 가지는 리스트 또는 배열
• 벡터는 공간에서 한 점을 나타냄
• 원점으로부터 상대적 위치를 표현
• 벡터에 숫자를 곱해주면 길이만 변함 (스칼라곱)
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈을 할 수 있음
• 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터 상대적 위치이동을 표현함
• # 행벡터 x = [1,8,2] # 열벡터 x = [1, 7, 2]
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 성분곱을 할 수 있음

x = 
[1,
 2,
 3]

y = 
[2,
 4,
 5]

x * y = 
[2,
 8,
 15]

2. 벡터의 노름

• norm은 원점에서부터의 거리를 말함
• 임의의 차원 d에 대해 성립
• 두 벡터사이의 거리는 두 벡터의 뺄셈을 이용해서 구함
  1) L1 Norm
• 각 성분의 변화량의 절대값을 모두 더함
• 마름모 형태의 기하학정 성질이 나타남

a = [1,2,3]

l1norm = 1+4+9 = 14

2) L2 Norm

• 피타고라스 정리를 이용해 유클리드 거리를 계산함
• 원 형태의 기하학적 성질이 나타남
• 오직 L2노름으로만 두 벡터사이의 각도를 제2 코사인 법칙에 의해 구할 수 있음
  • Cosθ = 두 벡터이 내적 /두벡터의 L2노름의 곱

a = [3,5,6]

l2norm = √(9 + 25 + 36) = √70

3) L1 노름과 L2 노름의 차이

• 노름 상의 원
  

  

  
  (이미지 출처: boostcourse AI Tech precourse)
• 검정색 두 점 사이의 거리
  • L1 Norm: 빨간색, 파란색, 노란색 선으로 표현 (여러가지 path)
  • L2 Norm: 초록색 선으로만 표현 (Unique shortest path)
    

    

    
    (이미지 출처: https://hwanii-with.tistory.com/58)

3. 내적<x,y>

• 내적은 정사영(orthognal projection)된 벡터의 길이와 관련이 있음
• Proj(x)의 길이는 코사인법칙에의해 ||x|| cosθ가 됨
• 내적 구하는 공식

x = 
[1,
 2,
 3]

y = 
[2,
 4,
 5]

<x,y> = 1*2 + 2*4 + 3*5 = 23

(이미지 출처: boostcourse AI Tech precourse)

• 내적은 정사영의 길이를 벡터 y의 길이 ||y||만큼 조정한 값
  
  (이미지 출처: boostcourse AI Tech precourse)